METODA ANALITIK DALAM RANCANGAN TEROWONGAN

5.  METODA ANALITIK DALAM

     RANCANGAN TEROWONGAN

Seperti yang telah diuraikan pada bab 4. bahwa metode analitik digunakan untuk menganalisis tegangan dan deformasi disekitar lubang bukaan. Teknik-teknik yang dipakai adalah solusi closed from dan metode numerik yaitu :

-          Perhitungan numerik seperti metode elemen hingga (finite elements methods), metode perbedaan hingga (finite difference method), metode elemen batas (boundary elements method).

-          Simulasi analogi (analog simulation) seperti analogi listrik dan fotoelastik.

-          Model fisik (physical modelling) seperti penggunaan maket.

Namun pada bab ini akan diuraikan tentang distribusi tengangan dan perpindahan disekitar terowongan pada berbagai bentuk terowongan seperti ; lingkaran, tapal kuda, empat persegi (kubus) dan bentuk ellips dengan formulasi dan sekilas permodelan numerik.

5.1.  Distribusi Tegangan Sebelum Dibuat terowongan

Dibuatnya suatu terowongan (lubang bukaan) pada massa batuan, akan mengakibatkan perubahan distribusi tegangan pada massa batuan tersebut, terutama di dekat lubang bukaan tersebut. Sebelum lubang bukaan dibuat, pada titik-titik di dalam massa batuan bekerja tegangan mula-mula (initial stress). Tegangan mula-mula pada suatu titik  dalam massa batuan  merupakan hasil dari berbagai peristiwa geologi dalam massa batuan. Oleh karena itu tegangan mula-mula yang ada pada massa batuan, mungkin merupakan resultan dari beberapa kondisi tegangan yang telah ada sebelumnya.

Namun tegangan mula-mula ini masih sukar diketahui  secara tepat, baik besarnya maupun arahnya. Umumnya tegangan mula-mula dibagi  3 macam, yaitu ;         

1.      Tegangan gravitasi yang terjadi karena berat dari tanah atau batuan  yang berada diatasnya (overburden)

2.      Tegangan tektonik yang terjadi akibat pergerakan kulit bumi yang terjadi pada waktu yang lampau maupun saat ini.

3.      Tegangan sisa adalah tegangan yang masih tersisa, walaupun penyebab tegangan tersebut sudah hilang  yang berupa panas ataupun pembengkakan pada kulit bumi.

Jika tegangan tektonik dan tegangan sisa tidak ada atau dapat diabaikan karena kecilnya pada suatu daerah  yang akan dibuat lubang bukaan  maka tegangan mula-mula hanya berupa tegangan gravitasi yang dapat dihitung secara teoritis sebagai berat persatuan luas dari tanah atau batuan yang terdapat di atasnya, atau dapat ditulis sebagai berikut.

             = g . H.................................................................................................... (5.1) 

Keterangan ;

          s_o   =  Tegangan mula-mula (kPa)

          g     =  Density tanah atau batuan di atasnya (kN/m³)                                    

          H    =  Jarak dari permukaan tanah (m)

Persamaan 5.1 merupakan  nilai kompenen tegangan awal vertikal (). Komponen tegangan awal horisontal () dapat ditentukan dari komponen tegangan vertikal awal   (s_v ) dengan  persamaan ;

          s_h  = k .s_{v ........................................................................................................................................}  (5.2)

dimana ;

          -  Untuk material elastik  

          -  Dalam keadaan tegangan hidrostatik,  k = 1

          -   =  Poisson’s ratio

5.2. Distribusi Tegangan pada TEROWONGAN BENTUK Lingkaran.

Gambar 5.1. menunjukkan bahwa distribusi tegangan dan perpindahan  yang terjadi karena adanya lubang bukaan berbentuk lingkaran dengan jari-jari  a  di dalam massa batuan yang bersifat homogen dan isotrop, dengan beban biaxial serta kondisi regangan bidang, dapat dihitung dengan menggunakan persamaan Kirsch (1898) ;

Tegangan Radial :

          s_rr =...........................  (5.3)

Tegangan tangensial :

          s_qq = ......................................  (5.4)

 

Gambar 5.1. Distribusi tegangan dan terpindahan di sekitar lubang bukaan lingkaran

dengan tegangan awal biaksial.

Tegangan Geser :

          t_rq = .........................................................   (5.5)

Perpindahan  radial:

          m_r  = 

............................  (5.6)

Perpindahan tangensial :

          m_q =  

                   .......................................  (5.7)      

                                               

Keterangan ;

s_v        = Tegangan  vertikal yang bekerja pada massa batuan

r        = Jarak dari titik pusat lingkaran ke suatu titik didalam massa batuan

a        = Jari-jari lingkaran

E       = Modulus Elastisitas

      = Sudut yang dibentuk terhadap sumbu vertikal

Dengan memasukkan nilai a = r atau di dinding  lubang bukaan ke persamaan (5.3 dan 5.4). Konsentrasi tegangan tangensial (s_q) terhadap tegangan vertikal (s_v)  dengan kondisi k =1, k = ½ dan k = 1/3 dapat di lihat pada Tabel 3.1 dan Gambar 5.2. Tabel 5.1 menunjukkan bahwa tegangan tangensial (s_q) yang bekerja pada kondisi  k = 1 sebesar 2s_v. Tegangan tangensial maksimum terjadi pada kondisi  k = 1/3 di q = 0^o  sebesar 2,7s_v, dan tegangan tengensial minimum dengan nilai nol terjadi pada kondisi k = 1/3 di q = 90^o. Sedangkan tegangan radial (s_r) yang bekerja di dinding lubang bukaan sama dengan nol.

Tabel 5.1.bKonsentrasi Tegangan Tangensial (s_q) Terhadap Tegangan Vertikal (s_v)

di dinding Lubang Bukaan Lingkaran (a = r)

q		sq/sv
	K = 1	k = ½	k = 1/3
0	2	2.5	2.7
15	2	2.4	2.6
30	2	2.0	2.0
45	2	1.5	1.3
60	2	1.0	0.7
75	2	0.6	0.2
90	2	0.5	0.0

Gambar 5.2 Kurva konsentrasi tegangan tangensial (s_q) terhadap tegangan vertikal (s_v)

di dinding lubang bukaan lingkaran (a = r)  dengan  kondisi

k = 1, k = ½  dan  k = 1/3 (Duvall, 1967).

Jika nilai r/a dimasukkan pada  persamaan (5.3) dan (5.4) dengan q = 0, konsentrasi tegangan di sekitar dinding lubang bukaan lingkaran dapat dilihat pada Tabel 5.2 dan Gambar 5.3. Gambar 5.3 menunjukkan tegangan tangensial (s_q) dan tegangan radial (s_r) berubah secara signifikan pada r < 2a. Hal ini disebabkan adanya pengaruh bentuk lubang bukaan. Sedangkan pada r > 2a tegangan tangensial (s_q) dan tegangan radial (s_r)  relatif semangkin berkurang dengan bertambahnya jarak r dari batas lubang bukaan.

Pada batas lubang bukaan (r/a = 1), yang bekerja hanya tegangan tangensial (s_q), sedangkan tegangan radial (s_r) sama dengan nol. Tegangan radial (s_r) bekerja jika  r/a > 1.

Tabel 5.2. Tegangan Tangensial (s_q) dan Tegangan Radial (s_r) Terhadap Tegang Vertikal (s_v)  di   sekitar dinding lubang bukaan lingkaran Pada berbagai jarak r dan kondisi k = 1, k = ½  dan k = 1/3.

r/a		sq/sv			sr/sv
	k = 1	k = ½	k = 1/3	k = 1	k = ½	k = 1/.3
1	2.00	2.50	2.70	0.00	0.00	0.00
2	1.25	1.23	1.23	0.75	0.52	0.44
3	1.11	1.09	1.09	0.89	0.52	0.39
4	1.06	1.05	1.05	0.94	0.51	0.37
5	1.04	1.03	1.03	0.96	0.51	0.36
6	1.03	1.02	1.02	0.97	0.51	0.35

 

Gambar 5.3. Kurva tegangan tangensial dan tegangan radial terhadap tegangan vertikal disekitar dinding lubang bukaan lingkaran pada tegangan biaksial dengan kondisi k=1, k= ½ dan k=1/3 (O.Leonard and W.I. Duvall, 1967).

Persamaan (5.6 dan 5.7) menunjukkan perpindahan yang terjadi di sekitar lubang bukaan lingkaran, jika r = a dimasukkan ke dalam persamaan (5.6 dan 5.7), maka persamaan tersebut menjadi ;

          m_r  =  .................................................  (5.8)

          m_q =....................................................................  (5.9)

Dengan memasukkan a = r dan u = 0.25 ke dalam persamaan (5.8) dan (5.9) dengan q = 0^o s/d 90^o. Perpindahan radial dan perpindahan tangensial diubah dalam bentuk  m_r.E/s_v.a dan m_q.E/s_v.a maka perubahan nilai perpindahan dapat dilihat pada tabel (5.3 dan 5.4) dan Gambar (5.4 dan 5.5). Gambar 5.4 dan 5.5 menunjukkan perubahan nilai  perpindahan yang merupakan fungsi sudut (q) dan kondisi k.

Tabel 5.3. Perpindahan  radial  (m_r.E/sv.a)  di dinding  lubang  bukaan   lingkaran

 (a = r, q = 0^o s/d 90^o) dengan kondisi k = 1, k = ½  dan k = 1/3.

qo	mr.E/sv.a
	k = 1	k = ½	k = 1/3
0	1.88	0.47	-0.01
10	1.88	0.53	0.07
20	1.88	0.69	0.28
30	1.88	0.94	0.62
40	1.88	1.24	1.03
50	1.88	1.57	1.46
60	1.88	1.88	1.88
70	1.88	2.12	2.21
80	1.88	2.29	2.43
90	1.88	2.34	2.50

Gambar 5.4. Kurva perpindahan  radial  (m_r.E/s_v.a) di dinding  lubang  bukaan   lingkaran

 (a = r, q = 0^o s/d 90^o) dengan kondisi k = 1, k = ½  dan k = 1/3.

Tabel 5.4. Perpindahan  Tangensial (m_q.E/s_v.a) di  dinding  lubang  bukaan lingkaran

(a = r, q = 0^o s/d 90^o) dengan kondisi k = 1, k = ½ dan k = 1/3.

qo		mq.E/sv.a
	k = 1	K = 1/2	k = 1/3
0	0	0.00	0.00
10	0	0.16	0.22
20	0	0.60	0.81
30	0	0.81	1.09
40	0	0.92	1.24
50	0	0.92	1.24
60	0	0.81	1.09
70	0	0.60	0.81
80	0	0.16	0.22
90	0	0.00	0.00

 

Gambar 5.5. Kurva perpindahan  Tangensial (m_q.E/s_v.a)  di dinding  lubang  bukaan   lingkaran (a = r, q = 0^o s/d 90^o) dengan kondisi k = 1, k = ½ , dan k = 1/3.

5.3.  Distribusi Tegangan  TEROWONGAN

        Berbentuk  Ellips

Distribusi tegangan di dinding lubang bukaan ellips diorientasikan dalam bentuk geometri lubang bukaan, yaitu lubang bukaan ellips horizontal dan ellips vertikal seperti yang ditunjukkan pada Gambar 5.6.(a) dan (b).

Dalam tegangan biaksial, tegangan tangensial pada sumbu bukaan berbentuk ellips dengan tinggi H dan lebar W  menurut teori elastik dapat dituliskan  sebagai berikut .

Pada titik A (di atap)                      atau ...........................  (3.10)

Pada titik B (di dinding)                   atau     ………………(3.11)

 

                                                                                                       

Gambar 5.6

(a). Distribusi tegangan tangensial disekitar dinding lubang bukaan ellips horizontal.

(b).Distribusi tegangan tangensial disekitar dinding lubang bukaan ellips vertikal.

Dengan mengasumsikan s_A = s_B, maka

          =

Tegangan tangensial-tegangan tangensial  disekitar lubang bukaan ellips akan identik, jika perbandingan W/H sama dengan s_h/s_v.

Distribusi tegangan tangensial disekitar dinding lubang bukaan Ellips yang merupakan perbandingan antara H dan W terhadap tegangan vertikal dengan kondisi tegangan secara monoaksial (s_h = 0) dan kondisi biaxial (s_h = s_v) dapat dilihat Tabel 5.5.

Tabel 5.5. Tegangan Tangensial (s_q) pada sumbu Lubang bukaan berbentuk Ellips terhadap tegangan vertikal,s_v (Duffaut, 1981)

Lubang Bukaan Ellips H / W	Tegangan Tangensial terhadap tegangan vertikal (sq/sv)
	Titik A (Atap)		Titik B (Dinding)
	sh = 0  (k=0)	sh = sv (k=1)	sh = 0  (k=0)	sh = sv (k=1)
Ellips Horizontal : ½ 2/3 Ellips Vertikal : 2 3/2	-1 -1 -1 -1	1 4/3 4 3	5 4 2 7/3	4 3 1 4/3

5.4.    Distribusi Tegangan TEROWONGAN

BERbentuk Tapal Kuda

Pada kasus lubang bukaan berbentuk tapal kuda, tegangan maksimum pada atap dan dinding di batas lubang bukaan seperti yang ditunjukan pada Gambar 5.7. Tegangan maksimum pada atap (A) diberikan oleh persamaan (Hoek & Brown, 1980) ;

          = ( 3.2 k – 1 ) .......................................................................................  (5.12)

Sedangkan pada dinding (B) lubang bukaan, tegangan maksimumnya adalah (Hoek & Brown, 1980) ;

= ( 2.3  – k )   ....................................................................................  (5.13)

Tabel 3.6. memperlihatkan perbandingan tegangan  yang bekerja di atap dan dinding batas lubang bukaan tapal kuda. Tegangan yang bekerja hanya tegangan tekan, sedangkan tegangan tarik tidak terjadi untuk k = 1, k = ½ , dan k = 1/3.

 

                                                                                                                                                                    

                                   

                                                                       

                                                                     

                                                                                                                                   

                                                                                                                                                                                                                       

Gambar 5.7. Distribusi Tegangan Pada Atap dan Dinding Tapal kuda

Tabel 5.6.Perbandingan Tegangan (s_q/s_v)  Pada atap dan dinding Tapal Kuda

(Hoek & Brown, 1980)

Tegangan horisontal sebelum penggalian lubang bukaan ()	Perbandingan tegangan sesudah pengalian lubang bukaan (sq/sv)
	A	B
	2.2 0.6 0.1 -1.0	1.3 1.8 1.9 2.2

5.5.  Distribusi Tegangan TEROWONGAN Bujur Sangkar

Gambar 5.8 menggambarkan distribusi tegangan tangensial pada batas lubang bukaan bujur sangkar dengan sisi lubang tidak berbentuk tajam (curving). Dari Gambar ini terlihat bahwa terjadi konsentrasi tegangan tangensial yang cukup tinggi pada setiap sudut lubang bukaan jika dibandingkan dengan daerah yang lain di batas lubang bukaan. Tabel 5.7 memperlihatkan perbandingan tegangan  yang bekerja di atap dan di dinding batas lubang bukaan berbentuk bujur sangkar untuk  k = 1, k = ½ , dan k = 1/3.

Tegangan maksimum di atap (A) lubang bukaan bujur sangkar dapat ditentukan dengan persamaan tegangan sebagai berikut  (Hoek & Brown, 1980).

= ( 1.9 k – 1 ) ................................................................................................  (5.14)

Sedangkan pada dinding (B) lubang bukaan, tegangan maksimumnya adalah (Hoek & Brown, 1980);

= ( 1.9  – k )...................................................................................................  (5.15)

Tabel 5.7. Perbandingan Tegangan (s_q/s_v) Pada atap dan dinding Bujursangkar

(Hoek & Brown, 1980).

Tegangan horisontal sebelum penggalian lubang bukaan ()	Perbandingan tegangan sesudah pengalian lubang bukaan (sq/sv)
	A	B
	0.90 -0.05 -0.37 -1.00	0.90 1.40 1.56 1.90

 

Gambar 5.8. Distribusi Tegangan Pada Atap dan Dinding Bujursangkar